Numerische Integration partieller Differentialgleichungen mit Hilfe diskreter passiver dynamischer Systeme

Numerische Integration partieller Differentialgleichungen, die physikalische Systeme mit endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit beschreiben, kann dadurch erfolgen, daß das ursprüngliche System mit Hilfe eines diskreten dynamischen Systems modelliert wird. Wenn das ursprüngliche System im eigentlichen physi­ kalischen Sinn passiv ist, so läßt es sich durch eine Zeit-Raum-Koordinatentrans­ formation in ein System transformieren, das mehrdimensional passiv ist, also passiv in einem verallgemeinerten, nämlich mehrdimensionalen Sinn. Entspre­ chend kann dann auch das zugehörige diskrete System mehrdimensional passiv gestaltet werden. Dadurch gelingt es insbesondere, eine geeignete mehrdimensio­ nale vektorielle Ljapunow-Funktion verfügbar zu machen. Die wichtigsten Vorteile, die das Verfahren für den sich ergebenden Algorith­ mus liefert, sind: massiver Parallelismus, volle Lokalität aller Operationen, leichte Beherrschbarkeit der numerischen Stabilität, hohe Robustheit gegenüber den unvermeidbaren Rechenfehlern (Rundungs- bzw. Schneidefehler, Überlauf­ korrekturen), die durch die Beschränktheit der auf einem Rechner zur Verfügung stehenden Wortlängen entstehen, sinnvolle Interpretationsmöglichkeit von Frequenzbereichs-Betrachtungen, Eignung als Grundlage für den Bau massiv paral­ leler Spezialrechner. Die Anwendbarkeit des Verfahrens ist für die Akustik, Elektrodynamik, Elastizität und Fluiddynamik nachgewiesen worden. von Fettweis, Alfred