Zeit- und ortsadaptive Verfahren angewandt auf Mehrphasenprobleme poröser Medien

Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurde ein zeit- und ortsadaptives Verfahren entwickelt und auf Mehrphasenprobleme poröser Medien angewandt. Die dabei erarbeiteten Konzepte fanden Einzug in das vom Verfasser konzipierte und implementierte FE-Programmsystem PANDAS, das am Lehrstuhl II des Instituts für Mechanik (Bauwesen) der Universität Stuttgart als Grundlage für Weiterentwicklungen auf diesem Gebiet dient. Darüber hinaus erlaubt die entwickelte Methodik die Einbeziehung von Kontinuumsmodellen aus der Elastizitäts- und Plastizitätstheorie einphasiger Materialien sowie von Fragestellungen aus der Fluidmechanik. Die Grundlage der Arbeit bildete die Darstellung der Theorie Poröser Medien (TPM), die zur Modellierung von Mehrphasenmaterialien verwendet werden kann. Das daraus abgeleitete inkompressible, viskoplastische Zweiphasenmodell in einer geometrisch linearen Formulierung diente im weiteren als Beispiel zur Darstellung der prinzipiellen Vorgehensweise bei der Entwicklung des zeit- und ortsadaptiven Gesamtverfahrens. Eine konsequente mathematische Notation der auftretenden Anfangs-Randwertprobleme, sowohl in starker als auch in schwacher Formulierung, und die darauf aufbauende abstrakte Darstellung der Semidiskretisierung im Ort mit der Methode der finiten Elemente (FEM) lieferte ein System differential-algebraischer Gleichungen (DAE) in der Zeit. Die so erhaltene Formulierung der ortsdiskreten Gleichungen eröffnete den Weg zur Anwendung moderner Zeitintegrationsverfahren. Da die Struktur der entstehenden DAE-Systeme unabhängig vom gewählten Kontinuums- und Materialmodell ist (ein- bzw. mehrphasig, quasi-statisch bzw. dynamisch, elastisch, viskoelastisch, viskoplastisch bzw. elastoplastisch, geometrisch linear bzw. nichtlinear), wurde auf diese Weise eine breite Basis für weitere Anwendungen gelegt. Aufgrund theoretisch und praktisch motivierter Kriterien konnte im folgenden herausgearbeitet werden, daß sich diagonal-implizite Runge-Kutta-Verfahren (DIRK) besonders für die behandelte Problemklasse eignen. Die Diskussion verschiedener Stabilitätsbegriffe machte deutlich, daß aus theoretischer Sicht weitere Forderungen an die Verfahren gestellt werden müssen. Hier sei etwa auf die Bedeutung steif genauer Verfahren für DAE und die Forderung der L-Stabilität bei Plastizitätsproblemen verwiesen, deren Wichtigkeit sich im Rahmen der numerischen Beispielrechnungen bestätigte. Das implizite Euler-Verfahren als Standard-Verfahren bei der numerischen Simulation von Plastizitätsproblemen fällt ebenfalls in die Klasse der DIRK-Verfahren, so daß ein direkter Vergleich mit DIRK-Verfahren höherer Ordnung durchgeführt werden konnte. Es zeigte sich, daß der Einsatz von Verfahren höherer Ordnung trotz des größeren Aufwands je Zeitschritt einen enormen Effizienzgewinn zur Folge hat; so konnte das Erreichen der höheren Ordnung in der Praxis selbst im Fall eines Benchmark-Problems auf Basis der idealen Prandtl-Reuß-Plastizität nachgewiesen werden, die als Grenzfall komplexerer Plastizitätsmodelle einen für die numerische Lösung schwierigen Testfall darstellt. Darüber hinaus bietet die höhere Ordnung die Möglichkeit zur Einbettung eines Verfahrens niedrigerer Ordnung, das zu einer sehr effizienten Schätzung des lokalen Zeitfehlers herangezogen werden kann. Durch Steuerung der Schrittweite auf Basis dieser Schätzung (Zeitadaptivität) kann auch bei komplexeren Problemen ohne vorherige Kenntnis des Lösungsverlaufs eine vorgegebene Genauigkeit erzielt werden. Diese neue Qualität bei der numerischen Simulation von Plastizitätsproblemen stellt damit neben der Erhöhung der Genauigkeit durch Verwendung von Verfahren höherer Ordnung den entscheidenden Vorteil der zeitadaptiven Verfahren dar. In dieser Hinsicht ist insbesondere das neu konstruierte eingebettete SDIRK-2(1)-Verfahren auf Basis des Verfahrens zweiter Ordnung von Alexander zu nennen, das dem impliziten Euler-Verfahren bei geringem zusätzlichen Speicherbedarf und Programmieraufwand weit überlegen ist. In Bezug auf die Effizienz von mehrstufigen Runge-Kutta-Verfahren kommt der Lösung der nichtlinearen Gleichungssysteme eine wesentliche Bedeutung zu. Hier lieferte die übertragung von Ideen aus dem Bereich der numerischen Mechanik (algorithmisch konsistente Linearisierung) auf die betrachteten DIRK-Verfahren einen stabilen und schnellen Lösungsalgorithmus, der die Verwendung von üblichen linearen Gleichungslösern für schwach besetzte Systeme erlaubt. Neben der adaptiven Zeitdiskretisierung ist die adaptive Ortsdiskretisierung insbesondere bei Lokalisierungs-Phänomenen - etwa beim Scherbandproblem in Böden - von entscheidender Bedeutung für die Effizienz des Gesamtverfahrens. In dieser Hinsicht wurde zunächst durch eine vergleichende Gegenüberstellung verschiedener Techniken zur Gewinnung von Fehlerschätzern und Fehlerindikatoren herausgearbeitet, daß gradienten-basierte Fehlerindikatoren im Grenzfall einfacher Modellprobleme gleichwertige Ergebnisse liefern wie mathematisch fun